Wortel berekenen

Wat is een wortel precies?

Een wortel is het omgekeerde van een macht. Als 4² = 16, dan is √16 = 4. Het wortelteken (√) heet het 'radicaalteken' en het getal eronder de 'radicand'. De vierkantswortel is de standaard, dus √ wordt geschreven zonder cijfer ervoor — automatisch graad 2.

Voor andere graden zet je het cijfer linksboven het wortelteken: ³√ voor de derdemachtswortel ('kubuswortel'), ⁴√ voor de vierde, enzovoort. De algemene definitie van een n-de wortel: het getal y waarvoor geldt yⁿ = x. Of in machtnotatie: ⁿ√x = x^(1/n).

Perfecte machten en irrationale getallen

Sommige wortels geven een mooi rond getal. Dat zijn de zogenaamde 'perfecte machten':

Irrationale wortels — oneindige decimalen

Niet elke wortel komt zo netjes uit. √2 is bijvoorbeeld 1,41421356237… en gaat oneindig door zonder ooit te herhalen. Zulke getallen heten 'irrationaal' en kunnen niet als breuk worden geschreven. Een paar bekende voorbeelden:

• √2 ≈ 1,414214 (de diagonaal van een vierkant met zijde 1)
• √3 ≈ 1,732051 (komt voor bij de gelijkzijdige driehoek en driefase-stroom)
• √5 ≈ 2,236068 (zit in de gulden snede φ = (1+√5)/2)
• √10 ≈ 3,162278
• ³√2 ≈ 1,259921 (het 'Delisch probleem' uit de oudheid)
• ³√10 ≈ 2,154435

Wortels van negatieve getallen

Hier geldt een belangrijke regel: de wortel van een negatief getal bestaat binnen de reële getallen alleen voor oneven graden. ³√(−8) = −2 (want (−2)³ = −8) — dat klopt prima. Maar √(−16) bestaat niet als reëel getal, want geen enkel getal in het kwadraat geeft een negatieve uitkomst (min keer min is altijd plus).

Wiskundigen losten dit op met 'imaginaire getallen': i = √(−1), zodat √(−16) = 4i. Dat valt buiten het bestek van een eenvoudige rekenmachine — deze calculator geeft dan een nette melding terug.

Wortels in de stelling van Pythagoras

De bekendste praktische toepassing van wortels is de stelling van Pythagoras: in een rechthoekige driehoek geldt a² + b² = c². Wil je de schuine zijde (c) berekenen, dan trek je de wortel: c = √(a² + b²).

Voorbeelden: een driehoek met rechthoekszijden 3 en 4 heeft schuine zijde √(9+16) = √25 = 5 (de bekendste pythagoras-tripel). Een ladder waarvan de voet 1 m van de muur staat en de top op 4 m hoogte heeft een lengte van √(1+16) = √17 ≈ 4,12 m. Vandaar dat wortels in bouwkundige berekeningen steeds terugkomen.

Wortels in statistiek en financiën

In de statistiek is de standaarddeviatie de wortel van de variantie — letterlijk: σ = √(variantie). Daarom staat het symbool van standaarddeviatie zo vaak naast een wortelteken in onderzoeken en grafieken.

In de financiële wereld gebruik je wortels om geannualiseerd rendement te berekenen. Stel je hebt € 1.000 die in 5 jaar groeit naar € 1.610: wat was het gemiddelde rendement per jaar? Dan reken je ⁵√(1610/1000) − 1 = ⁵√1,61 − 1 ≈ 0,10, oftewel 10% per jaar. Deze calculator berekent wortels tot en met graad 5 direct.

Een korte geschiedenis van wortels

Het wortelteken (√) zoals wij het kennen werd in 1525 geïntroduceerd door de Duitse wiskundige Christoff Rudolff. Het is waarschijnlijk afgeleid van de letter 'r' van het Latijnse 'radix' (wortel). De horizontale streep boven de radicand (de 'vinculum') werd pas honderd jaar later toegevoegd door René Descartes om de groepering duidelijk te maken.

Wortels berekenen zonder hulpmiddel was tot in de 20e eeuw een vak apart — er bestonden hele tabellen en de zogenaamde 'extractie-methode', die al op Babylonische kleitabletten voorkomt. Tegenwoordig doet elke smartphone het in milliseconden, maar de wiskundige basis is nog precies dezelfde als 4000 jaar geleden.